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Calculadora de ecuación cuadrática

Resuelve cualquier ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 — discriminante, raíces reales o complejas, vértice, eje de simetría, forma canónica y factorizada, además de una gráfica interactiva de la parábola.

✓ Última revisión: Fuentes: Wikipedia — Quadratic equation

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Coeficiente del término x². No puede ser 0 — de lo contrario la ecuación no es cuadrática.

Coeficiente del término x.

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Calculadora de ecuación cuadrática: discriminante, raíces, vértice y gráfica de la parábola en una sola herramienta

Esta calculadora de ecuación cuadrática (o de ecuación de segundo grado, según la región) resuelve cualquier ecuación de la forma ax² + bx + c = 0. Escribe los tres coeficientes —a, b y c— y obtienes al instante el discriminante, las dos raíces (reales o complejas), el vértice de la parábola y su eje de simetría, la suma y el producto de las raíces, la forma canónica y la forma factorizada de la ecuación, y una gráfica interactiva de la parábola con el vértice y las raíces marcados.

La mayoría de las calculadoras de este tipo dividen el tema en varias herramientas: una para el discriminante, otra para las raíces, otra para el vértice, otra para la gráfica. Aquí, con los mismos tres coeficientes y una sola página, obtienes todo lo necesario para una tarea, un examen o una comprobación rápida en un problema de ingeniería, calculado de una sola vez.

Cómo usar la calculadora de ecuación cuadrática

  1. Escribe el coeficiente a — el número que acompaña a x². Puede ser positivo o negativo, pero nunca cero.
  2. Escribe el coeficiente b — el número que acompaña a x. Déjalo en 0 si tu ecuación no tiene término lineal.
  3. Escribe el coeficiente c — el término independiente. Déjalo en 0 si tu ecuación no lo tiene.
  4. Lee el resultado: el discriminante, las raíces x₁ y x₂ (reales, una raíz doble, o complejas), las coordenadas del vértice, la suma y el producto de las raíces, y la gráfica.

Si escribes a = 0, la calculadora te avisa en lugar de adivinar: ax² + bx + c = 0 deja de ser una ecuación cuadrática en el momento en que a vale cero (más abajo explicamos por qué).

Cómo funciona la calculadora

Cómo calcular el discriminante de una ecuación cuadrática

El discriminante de una ecuación cuadrática es Δ = b² − 4ac. Su signo, por sí solo, indica cuántas soluciones reales tiene la ecuación, antes de calcular nada más:

Discriminante Qué significa
Δ > 0 dos raíces reales distintas
Δ = 0 una raíz real, doble
Δ < 0 ninguna raíz real — en su lugar, dos raíces complejas conjugadas

Para x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6): Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1. Como Δ > 0, la ecuación tiene dos raíces reales distintas.

La fórmula general y qué pasa según el discriminante

La fórmula general (también llamada fórmula cuadrática) da las raíces directamente a partir de los coeficientes: x = (−b ± √Δ) / (2a). Lo que sigue depende del signo de Δ:

  • Δ > 0: x₁ = (−b − √Δ)/(2a) y x₂ = (−b + √Δ)/(2a) — dos números reales distintos. Para x² − 5x + 6 = 0: √Δ = √1 = 1, así que x₁ = (5 − 1)/2 = 2 y x₂ = (5 + 1)/2 = 3.
  • Δ = 0: una sola fórmula, x = −b/(2a), sin ninguna raíz cuadrada que calcular. Para x² − 4x + 4 = 0: Δ = 16 − 16 = 0, así que x = 4/2 = 2 (una raíz doble — la parábola solo toca el eje X en ese punto, que además coincide con su vértice).
  • Δ < 0: ningún número real elevado al cuadrado da un resultado negativo, así que las soluciones son raíces complejas, escritas como a ± bi. La parte real es −b/(2a); la parte imaginaria es √(−Δ)/(2a). Para x² + 2x + 5 = 0: Δ = 4 − 20 = −16, así que x = −1 ± i·√16/2 = −1 + 2i y −1 − 2i.

Internamente, la calculadora usa una versión numéricamente estable de esta fórmula para el caso Δ > 0 (evita la pérdida de precisión que sufre la fórmula ingenua cuando b² y 4ac tienen una magnitud parecida), así que el resultado sigue siendo exacto incluso con coeficientes extremos.

El vértice de la parábola y el eje de simetría

Toda ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 corresponde a una parábola y = ax² + bx + c, y toda parábola tiene un único punto de inflexión: su vértice. Sus coordenadas son xᵥ = −b/(2a) y yᵥ = c − b²/(4a). La recta vertical x = xᵥ es el eje de simetría de la parábola — a ambos lados de esa línea, la parábola es un reflejo de sí misma.

Para x² − 5x + 6 = 0: xᵥ = −(−5)/(2·1) = 2,5, yᵥ = 6 − 25/4 = −0,25. El vértice está en (2,5; −0,25), y el eje de simetría es la recta x = 2,5 — justo a mitad de camino entre las raíces 2 y 3.

Cuando a > 0, la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo. Cuando a < 0, se abre hacia abajo y el vértice es un máximo. En cualquier caso, las raíces —cuando existen— siempre quedan a la misma distancia del eje de simetría, una a cada lado.

Raíces de la ecuación cuadrática y su relación con la parábola

Las raíces (también llamadas ceros o soluciones) de ax² + bx + c = 0 son los valores de x donde la parábola cruza el eje X. Solo existen como números reales cuando Δ ≥ 0: hay dos raíces distintas si Δ > 0, una raíz doble (el vértice tocando el eje X) si Δ = 0, y ninguna raíz real si Δ < 0 — la parábola no llega a tocar el eje X.

Fórmulas de Vieta: suma y producto de las raíces

Las fórmulas de Vieta relacionan las raíces directamente con los coeficientes, sin necesidad de resolver la ecuación de nuevo: x₁ + x₂ = −b/a y x₁ · x₂ = c/a. Se cumplen incluso cuando las raíces son complejas —las partes imaginarias se cancelan en la suma, y el producto siempre da un número real—, así que ambas son una buena forma de comprobar cualquier resultado.

Para x² − 5x + 6 = 0: x₁ + x₂ = 2 + 3 = 5, y en efecto −b/a = 5. x₁ · x₂ = 2 · 3 = 6, y en efecto c/a = 6. Para el ejemplo con raíces complejas, x² + 2x + 5 = 0: (−1+2i) + (−1−2i) = −2 = −b/a, y (−1+2i)(−1−2i) = 1 + 4 = 5 = c/a.

Forma canónica (de vértice) y forma factorizada

La forma canónica reescribe la ecuación como y = a(x − h)² + k, donde (h, k) es el vértice — una forma que muestra el máximo o el mínimo de un vistazo. Para x² − 5x + 6 = 0, la forma canónica es y = 1·(x − 2,5)² − 0,25.

La forma factorizada, y = a(x − x₁)(x − x₂), solo existe cuando Δ ≥ 0, porque necesita raíces reales para escribirse. Para x² − 5x + 6 = 0 es y = (x − 2)(x − 3). Con Δ = 0 se convierte en un factor al cuadrado, como y = (x − 2)² para x² − 4x + 4 = 0; con Δ < 0 no existe una forma factorizada real, así que la calculadora no la muestra.

¿Qué pasa si a = 0?

Por definición, una ecuación cuadrática (de segundo grado) exige que a sea distinto de cero — ese coeficiente es justamente el que hace existir el término x². Si escribes a = 0, la ecuación se reduce a bx + c = 0, una recta, no una parábola. La calculadora avisa de esto en lugar de calcular un discriminante o unas raíces, y si b tampoco es cero, te muestra la solución lineal x = −c/b. Para 3x − 6 = 0 (a=0, b=3, c=−6), esa solución es x = −(−6)/3 = 2.

Ejemplos paso a paso

Ejemplo 1: dos raíces reales distintas — x² − 5x + 6 = 0

Aquí a=1, b=−5, c=6.

  1. Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1. Δ > 0, así que esperamos dos raíces reales.
  2. √Δ = 1, así que x₁ = (5 − 1)/2 = 2, x₂ = (5 + 1)/2 = 3.
  3. Vértice: xᵥ = 2,5, yᵥ = 6 − 6,25 = −0,25. Eje de simetría: x = 2,5.
  4. Comprobación con Vieta: suma = 2 + 3 = 5 = −b/a ✓; producto = 2 · 3 = 6 = c/a ✓.
  5. Forma factorizada: y = (x − 2)(x − 3). Forma canónica: y = (x − 2,5)² − 0,25.

Ejemplo 2: una raíz doble — x² − 4x + 4 = 0

Aquí a=1, b=−4, c=4.

  1. Δ = (−4)² − 4·1·4 = 16 − 16 = 0 → una raíz real, doble.
  2. x = 4/2 = 2 (tanto para x₁ como para x₂).
  3. Vértice: xᵥ = 2, yᵥ = 4 − 4 = 0 — el vértice queda exactamente sobre el eje X, porque aquí la raíz doble y el vértice son el mismo punto.
  4. Forma factorizada: y = (x − 2)².

Ejemplo 3: raíces complejas — x² + 2x + 5 = 0

Aquí a=1, b=2, c=5.

  1. Δ = 2² − 4·1·5 = 4 − 20 = −16. Negativo, así que no hay raíces reales.
  2. Parte real: −b/(2a) = −1. Parte imaginaria: √16/2 = 2. Raíces: x = −1 + 2i y x = −1 − 2i.
  3. Vértice: xᵥ = −1, yᵥ = 5 − 1 = 4. Como a > 0 y el vértice está por encima del eje X (yᵥ = 4 > 0), toda la parábola queda por encima del eje X — coherente con que no existan raíces reales.
  4. No existe forma factorizada sobre los números reales; la gráfica sigue dibujando la parábola completa, solo que sin marcadores de raíces.

Ejemplo 4: raíces irracionales — x² − 2 = 0

Aquí a=1, b=0, c=−2.

  1. Δ = 0 − 4·1·(−2) = 8. √8 = 2√2 ≈ 2,8284.
  2. x₁ = −√2 ≈ −1,4142, x₂ = √2 ≈ 1,4142 — ninguna raíz es un número entero, así que la calculadora muestra el valor decimal redondeado.
  3. Vértice: xᵥ = 0, yᵥ = −2 — como b = 0, el vértice queda exactamente sobre el eje Y y la parábola es simétrica respecto a él.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el discriminante de una ecuación cuadrática?

El discriminante es Δ = b² − 4ac, calculado directamente a partir de los coeficientes de ax² + bx + c = 0. Para x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6): Δ = 25 − 24 = 1. Su signo —positivo, cero o negativo— indica de inmediato cuántas soluciones reales tiene la ecuación, incluso antes de resolverla.

¿Qué significa que el discriminante sea negativo?

Un discriminante negativo significa que la ecuación no tiene soluciones reales — la parábola nunca cruza el eje X. En su lugar, las dos soluciones son complejas conjugadas, de la forma a ± bi. Para x² + 2x + 5 = 0 el discriminante es −16, y las raíces son −1 + 2i y −1 − 2i; en la gráfica, la parábola queda completamente por encima (o por debajo) del eje X.

¿Cuántas soluciones tiene una ecuación cuadrática cuando el discriminante es cero?

Cuando Δ = 0, la ecuación tiene exactamente una solución real, contada como raíz doble: x = −b/(2a). Para x² − 4x + 4 = 0 el discriminante es 0 y x = 2. Geométricamente, es el único punto donde el vértice de la parábola toca el eje X en lugar de cruzarlo.

¿Cómo se calcula el vértice de una parábola?

El vértice de una parábola y = ax² + bx + c tiene coordenadas xᵥ = −b/(2a) y yᵥ = c − b²/(4a). Para x² − 5x + 6 = 0 son xᵥ = 2,5 y yᵥ = −0,25. Si a > 0, el vértice es el mínimo de la función; si a < 0, es el máximo.

¿Qué son las raíces (ceros) de una función cuadrática?

Las raíces (o ceros) son los puntos donde la gráfica de la función cuadrática cruza el eje X — es decir, las soluciones reales de ax² + bx + c = 0. Solo existen cuando Δ ≥ 0: dos si Δ > 0, una (en el vértice) si Δ = 0, y ninguna si Δ < 0, cuando la parábola no llega a tocar el eje X en absoluto.

¿Cómo resolver una ecuación cuadrática por factorización, sin usar la fórmula general?

La factorización reescribe ax² + bx + c como a(x − x₁)(x − x₂), donde x₁ y x₂ son las raíces — igualar cualquiera de los factores a cero da una solución. Para x² − 5x + 6 = 0 es (x − 2)(x − 3) = 0, así que x = 2 o x = 3. Este método solo funciona directamente cuando el discriminante es positivo o cero, porque necesita raíces reales de partida.

¿Qué es la forma canónica (de vértice) de una ecuación cuadrática?

La forma canónica es y = a(x − xᵥ)² + yᵥ, donde (xᵥ, yᵥ) son las coordenadas del vértice —los mismos números que da la fórmula del vértice de arriba—. Para x² − 5x + 6 = 0, la forma canónica es y = (x − 2,5)² − 0,25, y muestra de inmediato el valor mínimo de la función (−0,25, alcanzado en x = 2,5), sin cálculos adicionales.

¿Cómo comprobar las soluciones de una ecuación cuadrática con las fórmulas de Vieta?

Las fórmulas de Vieta indican que x₁ + x₂ = −b/a y x₁ · x₂ = c/a, lo que permite verificar las raíces sin rehacer todo el cálculo. Para x² − 5x + 6 = 0 con raíces 2 y 3: la suma = 5 = −b/a, y el producto = 6 = c/a — ambas comprobaciones cuadran, confirmando que las raíces son correctas.

¿Pueden los coeficientes a, b y c ser negativos o fraccionarios?

Sí — a, b y c pueden ser cualquier número real: positivo, negativo o decimal, siempre que a sea distinto de cero. Que los coeficientes sean negativos o fraccionarios no cambia qué fórmulas se aplican; por ejemplo, a < 0 simplemente invierte la parábola hacia abajo, convirtiendo su vértice de mínimo en máximo.

¿Qué ocurre si a = 0? ¿Sigue siendo una ecuación cuadrática?

No — por definición, una ecuación cuadrática (de segundo grado) exige que a sea distinto de cero, porque a = 0 elimina el término x². La ecuación pasa entonces a ser lineal, bx + c = 0, con una única solución x = −c/b en lugar de un discriminante y dos raíces. Para 3x − 6 = 0, esa solución es x = 2.

Fuentes